lecture: Wednesday 13:00 - 15:00, ESI lecture hall
seminar: Wednesday 15:30 - 17:00, ESI lecture hall (every second week)
The course starts on Novermber 3, 2004

 
Ideen aus der Populationsgenetik haben in der Mathematik immer wieder auch zu interessanten Konstruktionen und Analysen stochastischer Prozesse angeregt. Um derartige Prozesse wird es in der Vorlesung gehen. Wir werden uns dabei vor allem auf den Grenzwert großer Bevölkerungszahlen und vieler Generationen konzentrieren, die typischen Skalen der Populationsgenetik.

Der klassische Galton-Watson-Verzweigungsprozess, bei dem es um die zeitliche Entwicklung der Gesamtgröße einer Population über die Generationen geht, steht am Ausgangspunkt unserer Überlegungen. Eine Reihe von Resultaten über das Langzeitverhalten dieser Prozesse, die von Kolmogorov, Yaglom und anderen vor mehreren Jahrzehnten mit analytischen Techniken erforscht wurden, sind erst vor einigen Jahren mittels stochastischer Konstruktionen (zufällige Bäume, Ahnenlinien) neu bewiesen und frisch verstanden worden.

Anders als bei den Galton-Watson Prozessen beschreiben Modelle vom Fisher-Wright-Typ die zeitliche Entwicklung bestimmter Anteile der Gesamtpopulation. Für diese Modelle hat der "Blick zurüük in die Genealogie" eine neue mathematische Welt erschlossen. Das Stichwort ist hier Kingmans Coalescent und der damit verbundene Zugang zur Typenverteilungen in einer Stichprobe aus der Population unter der Annahme eines neutralen Mutationsprozesses - womit sich z. B. sehr schön die berühmte Ewens sampling formula erklären lässt.

Auch Weiterungen von Kingmans Coalescent hin zu Fällen, bei denen die Nachkommenschaftsvarianz unendlich ist (wie sie von Pitman, Möhle u.a. studiert wurden), werden uns beschäftigen, zusammen mit den dann auftretenden Stichprobenverteilungen.

Die Begriffe Zufällige Bäume und Genealogien werden sich als roter Faden durch die Vorlesung ziehen. Wir werden studieren, wie man Genealogien durch Flüsse von Subordinatoren und Brücken a la Bertoin-Le Gall, oder auch durch sogenannte Look-Down Konstruktionen a la Donnelly-Kurtz beschreibt, und wir wollen verstehen, wie man hierbei mit der Modellierung selektiver Vorteile umgeht.

Ein weiteres Thema werden räumlich strukturierte Populationen sein. Wann setzt sich in einer (idealisiert als unendlich ausgedehnt gedachten) Population räumliche Durchmischung gegen lokale Typenfixierung durch, und wie ist die Struktur der Gleichgewichtsverteilungen? Welchen Einfluss haben (in Raum und Zeit) zufällige Umgebungen auf das Langzeitverhalten der Population?

In den bisher erwähnten Situationen entsprach ein Individuum einem Gen (oder genauer einem Genort). Komplizierter wird es, wenn der Typ eines Individuums durch zwei oder mehrere Genorte bestimmt wird, die von Generation zu Generation mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit rekombinieren können. Die genealogische Struktur wird dann durch den sogenannten Rekombinationsgraphen beschrieben. Für den Fall zweier Loci, von denen einer selektiv und einer neutral ausgeprägt ist, werden wir auf den Spuren einer neueren Arbeit von Durrett und Schweinsberg ein paar Facetten der Genealogie eines "selektiven Sweeps" kennenlernen, in dem eine (zufällige) Anzahl von neutralen Typen gleichsam "per Autostop" gekoppelt an den sich fixierenden selektiv bevorzugten Typen das Rennen macht.

In einem ca. zweiwöchig stattfindenden Seminar werden - je nach Interessenten - einzelne Themen als Begleitung der Vorlesung vertieft und/oder im Stil einer Arbeitgemeinschaft aktuelle Literatur und Forschungsprobleme besprochen.

Literatur:
J. Bertoin, J.F. Le Gall: "Stochastic flows associated to coalescent processes", Probab. Theory Related Fields 126 (2003) 261-288.

J. Bertoin, J.F. Le Gall: "The Bolthausen-Sznitman coalescent and the genealogy of continuous-state branching processes". Probab. Theory Relat. Fields 117 (2000) 249-266.

R. Bürger: "The mathematical theory of selection, recombination, and mutation", Wiley 2000.

M. Birkner, J. Geiger, G. Kersting: "Branching processes in random environment - a view on critical and subcritical cases", Preprint, available online at http://www.wias-berlin.de/people/birkner/

D.A. Dawson, L.G. Gorostiza, A. Wakolbinger: "Hierarchical Equilibria of Branching Populations", Electronic Journal of Probability 9 (2004) 316-381 (Paper 12)

P. Donnelly, T. Kurtz: "Genealogical processes for Fleming-Viot models with selection and recombination", Ann. Appl. Probab. 9 (1999), 1091-1148

R. Durrett: "Probability models for DNA sequence evolution", Springer 2002

R. Durrett, J. Schweinsberg: "Random partitions approximating the coalescence of lineages during a selective sweep", Preprint, available online at http://www.math.cornell.edu/~jasonsch/webpage.html

W. Ewens: "Mathematical Population Genetics. I. Theoretical Introduction" (2nd ed), Springer, 2004

J. Geiger: "Elementary new proofs of classical limit theorems for Galton-Watson processes", J. Appl Probab. 36 (1999), 301-309.

A. Greven, A.Klenke, A. Wakolbinger: "Interacting Fisher-Wright diffusions in a catalytic medium", Probab Theory Relat Fields 120 (2001) 1, 85-117

J. Pitman: "Combinatorial Stochastic Processes" available online at http://www.stat.berkeley.edu/~pitman/621.pdf

S. Tavare: "Ancestral inference in population genetics", in: Lecture Notes in Mathematics 1837, pp. 1-188, Springer 2004.